Fagsnakk fra Cappelen Damm

Sannsynlighetsberegning med fotballkort. Foto: By Panini, via Wikimedia Commons

Klebrig matematikk – sannsynlighetsberegning for fotballnerder

Da jeg var liten, var det større enn julaften når klistremerkene til fotball-VM kom i butikkene, sammen med albumene man skulle samle dem i. Eller vent, det er fortsatt stort. Foreløpig har jeg ikke fylt et eneste album. Grunnen er (nokså) enkel matematikk.

Du kjenner sikkert konseptet. Man kjøper små pakker med klistremerker med bilder av alle spillerne som deltar i årets VM. Dessuten er det klistremerker med lagbilder, forbundsskjold og VM-stadioner. Til årets fotball-VM er det laget til sammen 682 ulike klistremerker. Hver pakke inneholder fem klistremerker og koster ca. 15 kr, albumet ca. 50 kr. Det betyr at du må kjøpe minimum 137 pakker (685 klistremerker) for å fylle albumet. Dermed må du ut med 2105 kr for å ha den minste sjanse til å lykkes. Men kan du litt sannsynlighetsregning (eller du noensinne har forsøkt å samle alle merkene), vet du at den summen ikke holder.

Det er her sannsynlighetsberegning kommer inn

Så hva må du ut med for at det skal være sannsynlig at årets album blir fylt? I pakkene er det fem klistremerker, og produsenten garanterer at ingen av disse er like. Den første pakken er ren lykke, for du har jo ingen fra før, alle de fem klistremerkene finner sin plass i albumet. Det er fortsatt høy sannsynlighet for at den neste pakken inneholder fem klistremerker du ikke har fra før, men etter hvert som albumet fylles, blir det mindre og mindre sannsynlig. Når det bare er noen få tomme plasser igjen i albumet, er det uutholdelig. Det er ikke rett fram å regne ut hvor mange klistremerker du må forvente å kjøpe, men forenkler vi matematikken litt, er det mulig å forstå. La oss anta at du ikke kjøper pakker med fem ulike kort, men bare enkeltklistremerker, og at du samler uten å bytte med andre.

Dessuten antar vi for forklaringens skyld at du skal fylle et album med plass til bare seks ulike klistremerker. Det første klistremerket du åpner, er helt sikkert et du ikke har. Du må forvente å kjøpe 6/6 = 1 klistremerke. For å få det neste klistremerket du ikke alt har, må du forvente å kjøpe 6/5 = 1,2 klistremerker. For det tredje 6/4 =1,5 klistremerker, for det fjerde 6/3 = 2 klistremerker, for det femte 6/2 = 3, og for det siste klistremerket i seks-klistremerke-albumet må du forvente å kjøpe 6/1 = 6 klistremerker. Til sammen må du altså forvente å kjøpe 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1= 14,7 klistremerker. På samme måte er antallet klistremerker du må forvente å kjøpe for å fylle årets VM-album lik

682/682 + 682/681 + 682/680 + … + 682/2 + 682/1

Det er ikke helt rett fram å regne ut hvor mange klistremerker du må forvente å kjøpe, men forenkler vi matematikken litt, er det mulig å forstå.

Foto: img.fifa.com

Årets utgave av fotball-VM-klistremerker kan du også samle digitalt.

Enkel matematikk

Regner du ut dette, kommer du til omtrent 4844 klistremerker. Tar vi hensyn til at det er fem ulike kort i pakkene, er svaret at du må forvente å kjøpe 4832 klistremerker eller 967 pakker. Dermed må du ut med 19 390 kr!

For å sukre pillen tilbyr produsenten Panini en tjeneste der du kan kjøpe 50 selvvalgte kort. Altså kan du, når du har fylt albumet ditt med 632 av klistremerkene, kjøpe de siste 50 for ca. 150 kr. Det hjelper en hel del, for du må da ut med «bare» 7150 kr.

Dessuten er poenget å bytte med andre. Har du en venn å bytte med kan du forvente å slippe unna med å kjøpe 644 klistremerkepakker for å fylle albumet med de 682 unike merkene. Med fire venner kan du satse på å kjøpe 410 pakker. Er dere ti som samler sammen vil trolig 313 pakker gjøre susen og et team av tjue samlere vil klare seg med 253 pakker. Hver av de tjue samlerne må likevel ut med 3575 kr. Poenget her er at summen vil konvergere mot minsteprisen, med andre ord 137 pakker til den samlede summen 2105 kr.

Jeg må åpenbart mobilisere nettverket mitt skal jeg ha håp om å fylle mitt første fotballklistremerkealbum. Men rekker jeg det før årets VM-finale spilles søndag 15. juli? Neppe.

 

Godt fotball-VM!

Bjørn-Terje Smestad. Foto: Ansgar Walbø

Bjørn-Terje Smestad

Bjørn-Terje Smestad er matematikkredaktør i Cappelen Damm Videregående. Han er lektor med mange års undervisningserfaring fra naturfag, fysikk og matematikk.

Hold deg oppdatert på Fagsnakk

Abonner på Matematikk og naturfagene